wild goose chase

a wild goose chase
(a worthless hunt or chase; a wild or absurd search for something nonexistent or unobtainable; || any senseless pursuit of an object or end; a hopeless enterprise; any futile pursuit) — напрасная / бесполезная /пустая затея/ трата сил / усилий; бесполезное, бессмысленное занятие; напрасный труд
≈ пустые хлопоты

Example 1: I wasted all afternoon on a wild-goose chase. (thefreedictionary.com)
Example 2: Her scheme of being a movie star is a wild-goose chase. (dictionary.reference.com)

send sb on a wild goose chase — поручить бессмысленное (или невыполнимое) задние, дело, занятие
≈ пойди туда — не знаю куда, принеси то — не знаю что
Example 1: John was angry because he was sent out on a wild-goose chase. (thefreedictionary.com)

see also
[fool's errand]